Í tölfræði er sennileikametill fall sem metur sennilegt gildi á tilteknum stika, gefið tiltekin gögn. Dæmi um algenga sennileikametla eru formúlur sem gefa meðaltal og staðalfrávik.
Látum
vera úrtak úr líkindadreifingu
sem er skilgreint upp að vigri óþekktra gilda,
. Þá er
sennileikametill fyrir
og mat okkar á gildi þess,
er
.
Látum
vera mælingar af fjölda mínútna sem viðskiptavinir veitingahúss þurfa að bíða eftir matnum sínum frá því að þeir panta hann. Við getum gert ráð fyrir því að gögnin séu Poissondreifð,
en við vitum ekki hver stikinn
er.
Við viljum því smíða sennileikametil fyrir
. Við vitum að dreififall Poisson dreifingar er
, með ![{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265)
Í raunverulegu veitingahúsi væru
háðar hvor annarri að einhverju leyti, vegna þess að sami kokkurinn þarf að sinna þeim öllum og fleiri pantanir á stuttum leiða af sér lengri biðtíma yfir heildina. En hér gerum við ráð fyrir fullkomnu veitingahúsi þar sem
eru óháðar. Þá er samdreififall mælinganna:
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fb403b5cadceba7df88994ff2f1f3eb41f1291)
![{\displaystyle =f(x_{1})f(x_{2})\cdots f(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab016c391670cc7026953f298234fbf74932fa14)
![{\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda }\lambda _{i}^{x}}{x_{i}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804261bf0a7ebc6bd76775c879fc914f06f882c7)
![{\displaystyle =e^{-n\lambda }{\frac {\lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac20836e5a57083d93b9d6be7eb69c9e7e8621b9)
Nú tökum við lógrann af þessu falli:
![{\displaystyle \ln \left(L(\lambda )\right)=\ln \left(e^{-n\lambda }{\frac {\lambda ^{\sum _{i=0}^{n}x_{i}}}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ded440c69ddc0108a2a1e0405d8107b728ad41d)
![{\displaystyle =-\lambda n+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\ln(\lambda )-\ln \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59082058bcc6fa48faff0174114b392a0d5d3f5f)
Og svo deildum við það með tilliti til óþekkta stikans
:
![{\displaystyle {\frac {dL}{d\lambda }}={\dfrac {d}{d\lambda }}\left(-\lambda n+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\ln(\lambda )-\ln \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\right)=-n+\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\dfrac {1}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c678926efff7fa5515d5c6c1c260484f0f1a82de)
Nú stillum við afleiðuna sem 0 til að hámarka hana:
![{\displaystyle 0=-n+\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\dfrac {1}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980fd25440181eab5608dc4b370c3c0e194433ca)
![{\displaystyle {\hat {\lambda }}={\dfrac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34147f29ac331ed1737b09102c6f0a2ca5c381b4)